神戸大学附属図書館デジタルアーカイブ
https://doi.org/10.24546/0100477738

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メタデータID
0100477738
アクセス権
open access
出版タイプ
Version of Record
タイトル
累乗数とその逆数の無限和について
著者
著者名
後藤, 珀斗
言語
Japanese (日本語)
収録物名
課題研究優秀論文集
巻(号)
2022
ページ
89-96
出版者
神戸大学附属中等教育学校
刊行日
2023-01
注記
令和4(2022)年度
抄録（自由利用可）
m ≥ 1, k ≥ 2 なる整数m, k に対し, mk と表される数を累乗数という. 1 を除く累乗数には,16 = 24 = 42 のように, いくつかの2 以上の整数の組(m, k) を用いてmk と表されるものがある. これは, 重複を含まない累乗数の逆数の無限和が,1 +Σm≥2Σk≥2 1/mk では求められない原因である.重複を含まない累乗数の逆数の無限和S は, メビウス関数μ(n) およびゼータ関数ζ(s) を用いてS = 1 +Σk≥2μ(k)(1 − ζ(k)) と表されることが知られているが, 証明は現在閲覧できる文献には記載されていない. 本研究は, 重複する累乗数に着目することで, 累乗数の逆数の無限和について, 既存の式に証明を与えた.さらに, 類似の手法を用いて, S について, 以下のような新たな表示を与えた.S = 1 +Σm≥2Σk≥2 1/d(kg(m)) − 1 1/mk ここで, d(n) はn の正の約数の個数であり, g(m) はm の素因数の指数すべての最大公約数である.本研究は, ゼータ関数とメビウス関数によって表された式が, 正の約数の個数, 素因数の指数すべての最大公約数という異なる情報を用いて表せることを明らかにした.
A perfect power is a number n of the form mk, where m, k are positive integers and k ≥ 2. Let S be the sum of the reciprocals of the perfect powers p without duplicates, S is known to be given by S = 1 +Σk≥2μ(k)(1 − ζ(k)), where μ(k) is the M¨obius function and ζ(k) is the Riemann zeta function. Its proof is not given in the currently available literature. This study gives a proof of this with the original method. In addition, this method revealed the other form of S. Given the prime factorization of n by n =jΠi=1 piαi , where αi ≥ 1, we define d(n) = j and g(n) = gcd(α1, α2, · · · , αj ).Then, S is given by S = 1 +Σm≥2Σk≥2 1/d(kg(m)) − 1 1/mk .
キーワード
Perfect powers
Reciprocal Sum
Zeta function
Möbius function
Infinite sum
カテゴリ
課題研究優秀論文集 ＞ 2022号（2023-01）
紀要論文